(বাংলা মাধ্যমের প্রাথমিক শিক্ষার্থীদের একটু অন্যভাবে বা অন্যরকম অঙ্কের স্বাদ দেওয়ার জন্য দশটি লেখার একটি সিরিজ তৈরি করা হয়েছে । যার নাম দশকথা । আজ দশকথার দ্বিতীয় কথা। এই লেখাতে আমরা ম্যাজিক স্কয়ার ব্যাপারটি বলব । আপনাদের মন্তব্য-প্রতিমন্তব্য চিন্তা গণিত কেন্দ্রের এই উদ্যোগকে এগিয়ে নিয়ে যেতে সাহায্য করবে ।)
এই সিরিজের প্রথম কথা
ক্যাডবেরি খেতে তোমার কেমন লাগে? অন্য চকোলেটদের চেয়ে ক্যাডবেরি দেখতেও একটু অন্যরকম, তাই না !
প্রত্যেকটা খোপ বর্গাকার এবং একই রকমের দেখতে । এই খোপগুলোতে সংখ্যা বসিয়ে একটা দারুণ খেলা দেখানো যায় । এই রে! ভাবছ ক্যাডবেরিতে সংখ্যা বসিয়ে দিলে ওটা তো আর খাওয়া যাবে না । ঠিক আছে, তাহলে ক্যাডবেরিটা খেয়েই নাও । আমরা বরং খাতা-কলমে খেলাটা খেলি।
প্রথমে আমি তোমাকে খেলাটা দেখাই । নিচের ছবির মত একটা বর্গাকার ছক খাতায় এঁকে ফেলো।
এখানে মোট ৯ টি খোপ রয়েছে । এবার আমাদের ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলিকে এমনভাবে বসাতে হবে যাতে খোপগুলিতে বসানো সংখ্যাদের সোজাসুজি(উল্লম্বভাবে),পাশাপাশি(অনুভূমিকভাবে) এবং কোণাকুণি(কর্ণ বরাবর) যোগফল সমান হয় । অনুভূমিকভাবে থাকা খোপগুলিকে সারি এবং উল্লম্বভাবে থাকা খোপগুলিকে স্তম্ভ বলা হয় ।
এই খেলার আর একটা নিয়ম আছে, তুমি কোনও সংখ্যাকে একবারই ব্যাবহার করতে পার ।
এই জিনিসটার খুব সুন্দর একটা নাম আছে- জাদু বর্গ । এইবার দ্যাখো খেলার খেলার নিয়ম মেনে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলিকে একবারই ব্যাবহার করে সোজাসুজি, পাশাপাশি এবং কোণাকুণি যোগফল ১৫ পেয়েছি । এই ১৫ কে বলা হয় জাদু ধ্রুবক ।
ধ্রুবক ব্যাপারটা বুঝলে না তো ?
বছরের যে সময়েই দ্যাখো না কেন দেখবে রাতের আকাশে ধ্রুবতারা একই জায়গাতে রয়েছে । অর্থাৎ সন্ধ্যাতারা বা শুকতারা যেমন বছরের একটি নির্দিষ্ট সময়ে দেখতে পাওয়া যাই, ধ্রুবতারা কিন্তু সারা বছরজুড়ে একই অবস্থানে দেখতে পাওয়া যায় । সেইরকমই জাদু বর্গের সোজাসুজি, পাশাপাশি এবং কোণাকুণি যোগফল ধ্রুবতারার মতো স্থির অর্থাৎ একই হয় ।
আমার দেখানো জাদু বর্গকে বলে ৩x৩ ক্রমের জাদু বর্গ | এই “৩x৩ ক্রম” ব্যাপারটি বুঝিয়ে বলা যাক | এখানে দ্যাখো ৩ টি সারি এবং ৩ টি স্তম্ভ আছে | এই ব্যাপারটাকেই ৩x৩ ক্রম বলে । এটার সাহায্যে আমরা বলে দিতে পারি মোট ক’টা খোপ আছে - যেমন ৩x৩ ক্রমের জাদু বর্গে ৯ টি খোপ থাকে । এই ৯ টি খোপে প্রথম ৯ টি স্বাভাবিক সংখ্যাকেই (১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮, ৯) ব্যাবহার করেছি |
জাদু বর্গের আরেকটি জাদু ব্যাপার হল, “উল্টে দেখুন একই আছি” , অর্থাৎ স্তম্ভ বরাবর সংখ্যাগুলিকে সারি বরাবর লিখলেও নতুন বর্গটিও জাদু বর্গ হয় । জাদু ধ্রুবক একই থাকে ।
এবার দ্যাখ ৩x৩ ক্রম জাদু বর্গের জাদু ধ্রুবক ১৫, কিন্তু ৪x৪, ৫x৫ ক্রমের জাদু ধ্রুবকও কি ১৫ হবে?
জাদু ধ্রুবক সব ক্রমের জন্যে একই হয় না । জাদু ধ্রুবক নির্ণয় করার একটা কৌশল আছে । এইখানে একটা জিনিস খেয়াল করার মতো , সেটা হল জাদু বর্গে যতগুলি সারি থাকে ঠিক ততগুলিই স্তম্ভ থাকে । যেমন আমার দ্যাখানো জাদু বর্গে ৩ টি সারি আর ৩ টি স্তম্ভ আছে । কিন্তু ৩ টি সারি আর ৪ টি স্তম্ভবিশিষ্ট জাদু বর্গ বানানো সম্ভব নয় । অর্থাৎ সারির সংখ্যা ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান না হলে জাদু বর্গ তৈরি করা সম্ভব নয় । কারণটা তুমিই খুঁজে দেখো । আমি একটা ছোট্ট সুত্র দিই কারনটা খোঁজার জন্যে । জাদু বর্গ - এই “বর্গ” শব্দের মধ্যেই লুকিয়ে রয়েছে কারনটা ।
এবার জাদু ধ্রুবক বের করার কৌশলটি বলি ।
- প্রথমে সারি সংখ্যার সাথে স্তম্ভ সংখ্যা গুণ করবে ।
- গুণফলের সাথে ১ যোগ করবে ।
- সেই যোগফলের সাথে সারি/স্তম্ভ সংখ্যা গুণ কর ।
- এই নতুন পাওয়া গুণফলকে ২ দিয়ে ভাগ করো ।
দেখবে তাহলেই জাদু ধ্রুবক পেয়ে যাবে ।
৩x৩ ক্রমের জন্যে জাদু ধ্রুবকের মান ১৫ হচ্ছে কিনা একবার পরখ করে দেখ ।
এই ধরণের জাদু বর্গকে সাধারণ জাদু বর্গ বলে । এবার তোমরা ৪x৪ ক্রমের সাধারণ জাদু বর্গ বানানোর চেষ্টা করো ।
এবার তোমাকে “জন্মদিনের জাদু বর্গ ”-এর কথা বলব । আমাদের দেশের বিখ্যাত গণিতজ্ঞ শ্রীনিবাস রামানুজন তাঁর নিজের জন্মদিন দিয়ে এই জাদু বর্গ বানিয়েছিলেন। এই জাদু বর্গ সব সময় ৪x৪ ক্রমের হয় ।
রামানুজনের জন্মদিন হল ২২-১২-১৮৮৭(২২ শে ডিসেম্বর, ১৮৮৭ খ্রিস্টাব্দ ) |
এখানে দ্যাখো, সারি,স্তম্ভ, কর্ণ বরাবর যোগফল ১৩৯|শুধু তাই নয়,নিচের ছবিগুলি লক্ষ্য কর, চারটি ক্ষেত্রেই রঙিন অংশগুলির যোগফলও ১৩৯ ।
এখানে আর একটি ব্যাপার লক্ষ্য করার, সাধারণ জাদু বর্গের মতো নির্দিষ্ট নিয়ম মেনে সংখ্যা নেওয়া হয়নি অর্থাৎ ৩x৩ ক্রমের জন্যে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত নেওয়া হয়েছিল- এইক্ষেত্রে সেইসব বাধানিষেধ নেই । শুধু খেয়াল রেখো কোনো সংখ্যা দু’বার ব্যবহার করা যাবে না ।
এবার তুমি নিজের জন্মদিনের জাদু বর্গ বানিয়ে পাঠিয়ে দাও ।
প্রথমে জাদু ধ্রুবক বের করে নাও । যেমন রামানুজনের জন্মদিনের জাদু বর্গের জাদু ধ্রুবক হল ১৩৯ (২২+১২+১৮+৮৭=১৩৯) । তারপর প্রথম সারির চারটি খোপে দিন-মাস-শতক-বছর(উদাঃ ২২-১২-১৮-৮৭) বসিয়ে দাও । তারপর জাদু বর্গ বানিয়ে নাও ।
