এই সমস্যাটা ভারতীয় স্ট্যাটিসটিক্যাল সংস্থার প্রবেশিকায় দেখেছিলাম। ইন্টিগ্রেশন (সমাকলন) ব্যাপারটা আদতে কি, সেটুকু জানলেই অঙ্কটা করে ফেলা যায়।
$$ \int_3^5 \frac{1}{1+x^3} dx $$
প্রমাণ করতে হবে যে এই ইন্টিগ্রালটার মান $ \frac{1}{63}$-বেশি, কিন্তু $ \frac{1}{14}$-র চেয়ে কম।
মজার ব্যাপার হলো, অঙ্কটা কষতে, ইন্টিগ্র্যাল ক্যালকুলাসের কোন ফর্মুলা না জানলে দিব্যি চলবে।
ব্যাপারটা বুঝতে একটু ছবি আঁকা যাক। ধরো x-y সমতলে একটা কার্ভ এঁকেছি। কার্ভটা x= -১ (নীল দাগ) থেকে x = +১ (লাল দাগ) অবধি দেখছি। বাকিটা মনে মনে মুছে দিতে পারো। কার্ভটার ফাংশন ধরা যাক g(x)।
এবার একটু ভাবো।
$$ \int_{-1}^1 g(x) $$
এই ইন্টিগ্র্যাল আসলে কি?
এটা হলো কার্ভটার তলায় যেটুকু জায়গা আছে তার ক্ষেত্রফল।
আমরা এই নীল জায়গাটার মাপ বুঝতে চাই। এটা ঠিক কতটা বড় হতে পারে? এটা কতটা ছোটো হতে পারে?
কার্ভটা একটা জায়গায় পাহাড়-এর মত উঠেছে। শিখরে পৌঁছেছে। এই শিখরের উচ্চতা যতটা ততটা দিয়ে যদি দৈর্ঘ্যকে গুণ করে দিতে পারি তাহলে এমন একটা চতুষ্কোণের ক্ষেত্রফল পাবো যা নীল ক্ষেত্রফলের চেয়ে নিঃসন্দেহে বড়। অর্থাৎ M যদি উচ্চতা হয়, a এবং b যদি x-axis ওপর আগা এবং মাথা হয় (যেখান থেকে যত অবধি ইন্টিগ্রাল নিচ্ছি) তাহলে,
$$ \int_{a}^b g(x) \leq M \times (b-a) $$
$ M \times (b-a) $ হচ্ছে সবুজ চতুষ্কোণের ক্ষেত্রফল। $ \int_{a}^b g(x) $ হচ্ছে কার্ভের নীচে নীল অঞ্চলটারও ক্ষেত্রফল।
যেমন করে আমরা শিখরকে ব্যবহার করেছি, তেমন করে আমরা g(x) -এর সর্বনিম্ন মান-কে ব্যবহার করতে পারি।
যদি ফাংশনের সর্বনিম্ন মান m হয় তাহলে, $$ m \times (b-a) \leq \int_{a}^b g(x) $$। ছবিতে $ m \times (b-a) $ হচ্ছে লাল চতুষ্কোণের ক্ষেত্রফল। লাল অবশ্যই নীলের চেয়ে ছোটো।
এবার আমরা এই ইন্টিগ্র্যালটার একটা মাপ পাবো।
$$ \int_3^5 \frac{1}{1+x^3} dx $$
তিন থেকে পাঁচের মধ্যে $ \frac{1}{1+x^3}$ সবচে ছোটো যখন $ x = 5 $। এখানে $m = \frac{1}{1+5^3} = \frac{1}{126}$। আবার $ \frac{1}{1+x^3}$ সবচে বড় যখন $ x = 3 $। এখানে $M = \frac{1}{1+3^3} = \frac{1}{28}$।
অতএব
$$ m \times (b-a) \leq \int_3^5 \frac{1}{1+x^3} dx \leq M \times (b-a) $$
$$ \frac{1}{126} \times (5-3) \leq \int_3^5 \frac{1}{1+x^3} dx \leq \frac{1}{28} \times (5-3) $$
অতএব প্রমাণিত হলো যে এই ইন্টিগ্রালটার মান $ \frac{1}{63}$-বেশি, কিন্তু $ \frac{1}{14}$-র চেয়ে কম।
